کد حل مسئله انتقال حرارت رایلی – بنارد با نرم افزار MATLAB

مبحث انتقال حرارت ریلی- بنارد از چند جهت قابل توجه است. یکی به علت استفاده در صنعت از نظر ساده بودن فرآیند، صرفه اقتصادي، صداي کم و بازیابی مجدد، شاخصهایی هستند که استفاده از جابجایی طبیعی در بحث انتقال حرارت در صنعت را جذاب می کند. همچنین کاربردهایی مانند صنایع برودتی، دستگاههاي ترانسفورماتور الکتریکی و سیستمهاي تهویه مطبوع و همین طور محفظه هاي ثابت که دماي دیوارهاي مقابل آن با هم متفاوت باشد و ازجهت دیگر در بحث گذار جریان از حالت آرام به مغشوش و بررسی پدیده ناپایداري. مسأله ناپایداري لایه اي از سیال که از سمت پایین حرارت میبیند به مسأله ناپایداري ریلی- بنارد معروف است. عامل اصلی ناپایداري نیروي شناوري ذرات گرم بالا رونده و نیروي گرانش ذرات سردتر پایین رونده است.

این مسأله براي اولین بار در سال 1900 براي حالتی که سیال از پایین توسط سطح صلبی گرم و در بالا در معرض هوا قرار داشت توسط بنارد صورت گرفت. ریلی در سال 1916 تئوري خود را براي شرایط ناپایداري درحالت دو سطح صلب ارائه کرد او نشان داد ناپایداري هنگامی اتفاق می افتد که گرادیان دما در جهت z اندازه کافی بزرگ شود و برمبناي آن عدد بی بعد رایلی «Ra» را تعریف کرد.

تئوری مسئله:

به طور کلی در مسأله رایلی -بنارد، در یک محفظه بسته که دماي سطح پایین آن بیشتر از دماي صفحه بالایی باشد، دو نوع مکانیزم براي انتقال حرارت وجود دارد. عدد بی بعد رایلی معیاري است که توسعه نیروي شناوري در مسأله ریلی- بنارد را براي ما مشخص می کند که به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن

همچنین عدد رایلی را می توانیم به صورت حاصل ضرب دو عدد بي بعد گراشف (Gr) و عدد پرانتل (Pr) نوشت:  

هنگامی که عدد رایلی کوچکتر از رایلی بحرانی (Ra_c) باشد، سیال ساکن بوده و انتقال حرارت توسط اولین مکانیزم انجام می شود.

در این مکانیزم نیروي شناوري ضعیف است و توانایی غلبه بر نیروي ویسکوزیته را ندارد؛ در نتیجه انتقال حرارت تماماً توسط هدایت مولکولی انجام می شود. پروفیل دما یک پروفیل خطی و عدد ناسلت برابر یک میباشد. این روند شود نیروي Ra_c

هنگامی که مقدار رایلی به مقدار یک یا دو مرتبه نسبت به رایلی بحرانی افزایش می یابد، جریان سلول وار به طور فزایندهاي پیچیده می شود و رول هاي دوبعدي به حالت سه بعدي میشکند که هنگامی که از بالا مشاهده می شوند داراي مقطع شش ضلعی میباشند و در رایلی هاي بالاتر، تعداد سلول ها چندین برابر شده و به طور ناگهانی جریان شروع به نوسانی شدن میکند و مغشوش می شود.

همانطور که گفته شد، شروع ناپایداري به رایلی بحرانی بستگی دارد توسط مطالعات و آزمایشات گوناگون مورد بررسی قرار گرفت هاست، که در محدوده 1000 تا 3000 می باشد که یک دلیل براي این محدوده وسیع رایلی که در محدوده بحرانی استفاده از فرض بوزینسک است که براساس این فرض کلیه ي خواص سیال به جز چگالی سیال در ترم شناوري معادله مومنتوم، ثابت در نظر گرفته می شود. نکته اي که باید بدان دقت کرد، این است که استفاده از فرض بوزینسک هنگامی که اختلاف دماي اندک باشد معتبر است، به طوري که با افزایش اختلاف دماي سطح گرم و سرد باید در استفاده از فرض بوزینسک دقت بیشتري به خرج داد.

منبع : www.lib.iut.ac.ir

در اینجا یک کد با نرم افزار MATLAB قرار داده شده است که با استفاده فرض بوزینسک مسئله فوق را می توان برای ابعاد مختلف تحلیل کرد. در ادامه نمایی از نتایج به دست آمده از این کد آمده است.

دانلود کد انتقال حرارت رایلی - بنارد

رمز فایل: www.cfdiran.ir

مرجع: www.CFDiran.ir

کد حل مسئله نفوذ غیرخطی با نرم افزار MATLAB

به طور کلی در هر پدیده فیزیکی وابسته به زمان که ترم های مشتق مکانی مرتبه دوم، چهارم و … ( مشتق های زوج) وجود داشته باشد، شاهد پدیده نفوذ یا همان Diffusion هستیم. در واقع زمانی که مشتق مکانی مرتبه دوم باشد با یک مسئله کلاسیک نفوذ (همانند نفوذ گرما در جسم جامد) مواجه هستیم که به اندازه کافی در مورد آن بحث شده است. اما آنچه که در اینجا مورد بررسی قرار می گیرد یکه مسئله نفوذ با ترم مشتق مکانی مرتبه چهارم و البته غیر خطی می باشد. این رابطه در واقع نزدیک ترین و در عین حال ساده ترین رابطه برای بیان مفهوم فیزیکی جاری شدن سیال ساکن به علت نیروی جاذبه می باشد.

این رابطه به فرم زیر است:

برای حل این مسئله ابتدا یک خطی سازی ساده انجام شده است و سپس با روش ضمنی کرانک-نیکلسون (Crank-Nicolson Implicit) گسسته سازی شده است و همچنین مشتق زمانی به فرم مرتبه اول صریح گسسته شده است.. بعد از ساده سازی به یک دستگاه معادلات سه قطری می رسیم که به راحتی با الگوریتم توماس (Thomas algorithm) قابل حل است.

از طرفی این مسئله دارای حل تحلیلی با روش متشابهی (Similarity method) است و کد آن نیز نوشته شده است و بعد از پایان حل عددی با آن مقایسه می شود.

 

—————————————————————

—————————————————————

Nonlinear Diffusion Equation

دانلود کد حل مسئله نفوذ غیرخطی

رمز فایل: www.cfdiran.ir

مرجع: www.CFDiran.ir